Topologi dan Ruang Topologi Matematika

Topologi dan Ruang Topologi

 

Salah satu himpunan terstruktur yang ada pada Matematika yang disebut dengan ruang topologi, sama seperti himpunan terstruktur lainnya yang ada pada matematika seperti grup ataupun ruang vektor. Ruang topologi adalah suatu himpunan yang dilengkapi struktur, yang dilengkapi aturan-aturan. Apa saja aturan pada ruang topologi?

Definisi 1: Diberikan himpunan tak-kosong S, suatu kelas t yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari S dikatakan topologi pada S, jika memenuhi :

(i)  S dan himpunan kosong  termuat didalam t.

(ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di t adalah anggota t .

(iii) Irisan dari dua himpunan di t adalah anggota t .

Anggota-anggota dari t disebut himpunan-himpunan terbuka dari t, dan pasangan  (S, t) dikatakan ruang topologi

 

Contoh 1.

Diberikan  S={a, b, c, d, e, f} dan  maka  merupakan topologi pada S, karena memenuhi semua kondisi dari definisi 1.

(i) S dan   

(ii) untuk setiap , maka

(iii) untuk setiap , maka

Contoh 2.

Diberikan S={a,b,c,d,e} dan maka  bukanlah topologi pada S karena gabungan  {c,d} U {a,c,e} = {a,c,d,e} tidak termuat di . Itu artinya  tidak memenuhi kondisi (ii) pada definisi 1.

Contoh 3.

Diberikan S = {1,2}. Himpunan  yaitu Himpunan dari semua himpunan bagian dari S adalah = {S,,{1},{2}}. Beberapa topologi diantaranya:

Topologi Khusus

Beberapa topologi khusus diantaranya Topologi Indiskrit, topologi Diskrit dan Topologi Kofinit.

 

Definisi 2: Diberikan S himpunan tak-kosong dan t adalah koleksi dari semua himpunan bagian dari S maka t disebut topologi diskrit, sedangkan ruang topologi (S,t) disebut ruang diskrit.

Dengan mudah kita cek bahwa definisi 2 memenuhi semua kondisi dari definisi 1, jadi definisi 2 juga merupakan topologi

Definisi 3: Diberikan S himpunan tak-kosong dan t={S,} maka t disebut topologi indiskrit, sedangkan ruang topologi (S,t) disebut ruang indiskrit.

Sekali lagi kita harus cek bahwa definsi 3 memenuhi semua kondisi dari definisi 1. Jadi, semua himpunan tak-kosong dapat kita bentuk menjadi topologi baik topologi diskrit maupun topologi indiskrit.

Definisi 4: Misal (S,t) ruang topologi,  adalah kelas yang anggotanya semua komplemen dari himpunan-himpunan buka dari t, maka  adalah topologi pada S yang disebut topologi kofinit.

Himpunan Terbuka (Open Set)

Definisi 5: Untuk setiap anggota t disebut himpunan-himpunan terbuka.

Contoh:

 , S={a,b,c} maka anggota dari himpunan terbuka  = , {a} dan S.

 maka anggota himpunan terbuka dari = , {a}, {b,c} dan S. Akan tetapi {b,c} bukan himpunan terbuka dari .

Himpunan Tertutup (Closed Set)

Definisi 6: Misal F S, F dikatakan himpunan tertutup jika Komplemennya adalah himpunan terbuka. Dengan kata lain

F tertutup   terbuka.

Contoh:

F =  himpunan bagian dari  maka himpunan tertutup dari  adalah .

Jadi  dan S adalah anggota dari himpunan terbuka dan tertutup.

 maka himpunan tertutup dari  adalah

= {S,{b,c},{a},}.

Teorema 1

Dalam Ruang Topologi (S,), himpunan bagian A dari S adalah terbuka jika dan hanya jika  tertutup dan berlaku juga:

(i) S,  tertutup

(ii) Jika  tertutup  maka  juga tertutup.

(iii) Jika  tertutup  maka  juga tertutup.

Bukti:

(i)     S,  adalah terbuka, sehingga

         dan  juga tertutup.

(ii)    Misalkan  tertutup  sehingga

          terbuka untuk , maka dengan menggunakan definisi topologi pada aksioma (ii)

         terbuka

                         terbuka

                         tertutup.

(iii)    Misalkan  tertutup  sehingga

          terbuka untuk , maka dengan menggunakan definisi topologi pada aksioma (iii)

         terbuka

                         terbuka

                         tertutup.

Contoh:

S= {a,b,c,d,e}, A1= {a,b}, A2={b,c} dimana A1 dan A2 tertutup. Maka

A1  A2 = {a,b}  {b,c} = {b} terututup

A1  A2 = {a,b}  {b,c} = {a,b,c} tertutup.

Dan   A1^C = S – A1 = S – {a,b} = {c,d,e}  terbuka

A2^C = S – A2 = S – {b,c} = {a,d,e}  terbuka

Sehingga

(S – A1)  (S – A2)     = {c,d,e}  {a,d,e}

                                = {d,e} juga terbuka

Himpunan tidak tertutup dan tidak terbuka

Definisi 7:  F tidak tertutup jika dan hanya jika F^C tidak buka.

Contoh:

Diberikan ruang topologi (S, ) dengan S ={a,b,c,d,e,f} dan

 adalah himpunan terbuka sehingga himpunan tertutupnya adalah

. Dengan demikian

S, , {a} dan {b,c,d,e,f} adalah himpunan terbuka dan himpunan tertutup.

{c,d} dan {a,c,d} adalah himpunan terbuka tetapi tidak tertutup.

{a,b,e,f} adalah himpunan tertutup tetapi tidak terbuka.

{b,c} dan {e,f}adalah himpunan tidak terbuka dan tidak tertutup

Penutup Suatu Himpunan (Closure)

Definisi 8: Jika (S,) adalah ruang topologi dan  penutup dari A ditulis  adalah interseksi (irisan) semua himpunan tertutup yang memuat A.

 dan F tertutup}

Contoh:

 untuk S = {a, b, c, d, e}

Tentukan , ,  ?

Jawab:

 = S  {b,c,d,e}  {a,b,e}  {b,e} = {b,e}

 = S  {a,b,e}  {a} = {a}

= S  {b,c,d,e} = {b,c,d,e}

 = S

 = S  {b,c,d,e} = {b,c,d,e}

>>    (S, ) adalah ruang topologi cofinite, jika

        (i) A berhingga maka

        (ii) A tak berhingga maka

Contoh:

; S={a,b,c,d,e} sehingga

 maka A berhingga sehingga

Titik limit

Definisi 9: Jika (S, ) adalah ruang topologi, titik  disebut titik limit dari A,  jika dan hanya jika untuk setiap himpunan terbuka  yang memuat p, memuat sekurang-kurangnya satu titik dari A yang lain dengan , maka .

Himpunan titik limit dari A disebut himpunan turunan dari A yang dinotasikan .

Contoh:

S={a,b,c,d,e},  merupakan topologi dan A={a,b,c}. Apakah A merupakan titik limit dari A?

Jawab:

       

        {a} - {a} 

à jadi a bukan titik limit dari A

       

        {b,c,d,e} - {b}

{c,d,e}{a,b,c}={c}

            {a,b,c,d,e}-{b}

{a,c,d,e}{a,b,c}={a,c}

à jadi b titik limit dari A

       

{c,d} - {c}

{d}{a,b,c}= 

à jadi c bukan titik limit dari A

       

        {c,d} - {d}

{c}{a,b,c}={c}

{a,c,d} - {d}

{a,c}{a,b,c}={a,c}

{b,c,d,e}-{d}

{b,c,e}{a,b,c}={b,c}

            {a,b,c,d,e}-{d}

{a,b,c,e}{a,b,c}={a,b,c}

à jadi d titik limit dari A

       

        {b,c,d,e}-{e}

{b,c,d}{a,b,c}={b,c}

            {a,b,c,d,e}-{e}

{a,b,c,d}{a,b,c}={a,b,c}

à jadi e titik limit dari A

Titik Interior

Definisi 10: Jika (S, ) adalah ruang topologi dan . Titik  disebut titik interior A jika  dengan G himpunan terbuka.

Himpunan titik-titik dalam A ditulis  atau int (A) atau interior dari A.

Contoh:

A=(a,b],    S=Â

Int (a,b]=(a,b) dimana

B=[a,b]

Int [a,b] =(a,b) dimana  dan

Interior dari suatu himpunan A adalah gabungan dari semua himpunan terbuka yang termuat dalam A, sehingga

(i)  terbuka

(ii)  adalah himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam A yaitu .

(iii) A terbuka jika dan hanya jika

Contoh:

S={a,b,c,d,e} dan

Misal A={b,c,d} maka Int (A)={c,d}

Misal B={a,c,d} maka Int (B)={a} {c,d}  {a,c,d}={a,c,d}.

Titik Eksterior

Titik eksterior dari A ditulis Eks (A) adalah interior dari komplemen A.

Eks(A)=Int()

Contoh:     S={a,b,c,d,e} dan

A={b,c,d}, ={a,e} maka Int ()=Int({a,e})={a}, sehingga Eks(A)={a}

B={a,c,d},  ={b,e} maka Int({b,e})=, sehingga Eks(B)= .

Perbatasan dan Titik Batas

Definisi 11: Perbatasan (boundary) adalah himpunan titik-titik yang bukan anggota Interior dari A maupun eksterior dari A.

Perbatasan A ditulis b(A). Dengan kata lain

b(A)  =(int(A) eks(A))^C

        =(int(A))^C (Eks(A))^C

Contoh:

S={a,b,c,d,e} dan

Misal A={b,c,d} maka Int (A)= {c,d}

Misal B={a,c,d} maka Int (B)={a} {c,d}  {a,c,d}={a}.

={a,e} maka Int ()=Int({a,e})={a}, sehingga Eks(A)= {a}

 ={b,e} maka Int({b,e})=, sehingga Eks(B)= .

Jadi   b(A)  = (int(A))^C (Eks(A))^C

= {c,d} ^C  {a} ^C

= {a,b,e} {b,c,d,e}

= {b,e}

        b(B)  = (int(B))^C (Eks(B))^C

= {a} ^C  {} ^C

= {b,c,d,e} {a,b,c,d,e}

= {b,c,d,e}

Definisi 12: Jika (S, ) adalah ruang topologi maka  dikatakan titik batas dari  jika dan hanya jika , maka

Contoh:

A=(a,b] maka Int(A)=(a,b)

 maka Eks (A)=Int()=

Sehingga b(A)={a,b}

Teorema 2:

Jika (S, ) adalah ruang topologi dan  maka  dan .

Contoh:

A=(a,b], Int(A)=(a,b) dan b(A)={a,b}.

=(a.b)  {a,b}=[a,b]

=[a,b] maka

·         A dikatakan tidak rapat dimana-mana pada S jika Int()=.

·         Titik  disebut titik terasing jika .

·         Suatu himpunan bagian dari S disebut sempurna jika himpunan tersebut tertutup dan tidak mempunyai titik terasing.

Contoh:

1. Q adalah bilangan Rasional.

, maka Int ()= à jadi Q tidak rapat dimana-mana.

Q-=, =Q à jadi Q tidak mempunyai titik terasing.

2.

Int= à Jadi tidak rapat dimana-mana.

3. A=, titik limit dari A = 0

àjadi semuanya adalah titik terasing kecuali 0.

Int= à tidak rapat dimana-mana.

Persekitaran

Definisi 13: Jika (S, ) adalah ruang topologi maka ,  disebut persekitaran p jika  sedemikian hingga .

Dengan kata lain:

         adalah persekitaran  jika dan hanya jika N memuat suatu himpunan buka yang memuat p.

Simbol: , N(p) atau N(p,r) artinya Persekitaran di titik pusat p dengan jari-jari r.

Contoh:

1. Tentukan  yaitu persekitaran titik 0 pada interval dibawah ini:

a.  à Ya ada.

b. [-1,0] à tidak ada.

c.  à tidak ada.

d. (0,1] à tidak ada.

2. Tentukan  dari S={a,b,c,d,e} dan

?

Jawab:

Himpunan buka yang memuat b = {S, {a,b}, {a,b,c,d}, {a,b,e}}

Himpunan bagian S yang memuat S=S

Himpunan bagian S yang memuat {a,b}

={{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}, S}

Himpunan bagian S yang memuat {a,b,c,d} ={{a,b,c,d}, S}

Himpunan bagian S yang memuat {a,b,e} = {a,b,e}, {a,b,d,e}, {a,b,c,e}, S}.

= himpunan buka yang memuat b  Himpunan bagian S yang memuat S  Himpunan bagian S yang memuat {a,b} Himpunan bagian S yang memuat {a,b,c,d}  Himpunan bagian S yang memuat {a,b,e}

={S,{a,b},{a,b,c,d},{a,b,e}} S{{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},

{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},S}{{a,b,c,d},S}  {a,b,e}, {a,b,d,e}, {a,b,c,e},S}

={S}